1.1. Fonksiyon Kavramı

1. Fonksiyon Nedir?

Kümeler konusunda soyut ve somut nesne topluluklarını ve bu toplulukların genel özelliklerini kümelerde işlemleri kullanarak incelemiştik. Bu ünitede ise iki kümenin elemanları arasındaki belirli türdeki ilişkilendirmeleri yani fonksiyonları inceleyeceğiz.

Fonksiyon kavramının günlük hayatta şu tip karşılıklarını bulabiliriz:

Sınıftaki öğrencilere birer öğrenci numarası vermek
Bir ağacın boyunun günlere göre değişimi,
Gökyüzüne doğru attığımız bir topun zamana bağlı yüksekliği,

birer fonksiyon belirtmektedir.

Etkinlik 1.1.

Yukarıdaki videoyu dikkatlice seyredin. İki kümenin arasında yapılacak bir eşleştirmenin hangi özellikleri sağlaması durumunda fonksiyon belirttiğini belirleyin.

Fonksiyonu bir takım girdi değerlerine karşılık belli bir kurala göre çıktı değerleri üreten bir makineye benzetmemiz mümkündür. Bunu açıklayacak bir örnek durum üzerinde düşünelim:

Akaryakıt istasyonlarında, alınan benzin miktarı ile ödenecek tutar arasındaki ilişkiyi

gaz pompa makinasındaki ekrandan izleme şansımız vardır. Bu sayede iki çokluk

arasındaki ilişkiyi gözlemleriz. Diğer bir ifadeyle, TL cinsinden ödenecek tutarın litre

cinsinden benzin miktarına bağlı değişimini ekrandan izleyebiliriz.

Depoya doldurulan benzin miktarının litre cinsinden değerine karşılık gelen tutarın TL cinsinden değerine ilişkin tabloya aşağıda yer verilmektedir.

Makinenin okuduğu değerlere “girdi”, hesapladığı tutara “çıktı” diyelim. Bu durumda benzin miktarına karşılık ödenecek tutar şöyle gösterilebilir:

Örneğin, aşağıdaki şema 4 litre benzine karşılık 20 TL ödeme yapılması gerektiğini belirtiyor. Ayrıca makinenin hesaplama yapmak için kullandığı kuralı da görebiliyoruz.

Bu makinede alınan benzin miktarı değiştikçe ödenmesi gereken tutar da değiştiğindenikisi de değişken olarak isimlendirilebilir. Tutarın değişmesi miktara bağımlıdır. Budurumda tutara bağımlı değişken, miktara ise bağımsız değişken denilebilir. Miktarı x, tutarı y ile isimlendirdiğimizde y bağımlı, x bağımsız değişken olur.

Bu ornekteki x ve y arasındaki ilişkiyi y = 5x ifadesiyle belirtebileceğimize dikkat edelim.

A ve B boş olmayan iki kume olsun. A kumesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. A dan A ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A da tanımlı fonksiyon da denir. Fonksiyonlar genellikle f, g, h, F, G, H gibi sembollerle gosterilir. Bir A kumesinden B kumesine tanımlı f fonksiyonu kısaca şu şekilde gosterilir:

f : A → B

Burada A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye ise fonksiyonun değer kümesi denir.Eğer f fonksiyonu A kumesinden alınan bir x elemanını, B kumesindeki bir yelemanı ile ilişkilendiriyor ise y, x in f altındaki görüntüsü veya f in x teki değeri y dir denir ve bu durum y = f(x) şeklinde ifade edilir. Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kumeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve f(A) ile gosterilir. Görüntü kümesi ortak özellik yöntemiyle şu şekilde gosterilir:

f(A) = { f(x) : x ∈A

Yapmış olduğumuz fonksiyon tanımındaki şu iki ozelliği vurgulayalım:

1.Tanım kumesindeki her bir eleman değer kumesinden bir elemanla mutlaka ilişkilendirilmiştir,

2. Tanım kumesindeki herhangi bir eleman değer kumesinden en fazla bir elemanlailişkilendirilmiştir.

f : A→ B olması bu iki şartın aynı anda sağlanması anlamına gelmektedir. Şimdi budurumu tersinden okuyalım:

Yukarıdaki şartlardan en az biri sağlanmıyorsa f : A→ B bir fonksiyon belirtmez. Daha net bir ifadeyle;

1. Tanım kumesinde, değer kumesinden bir elemanla ilişkilendirilmeyen en az bireleman var ise (cıktısı olmayan girdi varsa)

veya

2. Tanım kumesinde, değer kumesinden birden fazla elemanla ilişkilendirilen en azbir eleman var ise (birden fazla cıktısı olan girdi varsa)

f fonksiyon belirtmez.

ETKİNLİK 1.2

http://f.eba.gov.tr/MatematikAraclariUygulamasi/ web sayfasına girin. Ekranın sol tarafında yer alan matematik araçları menüsünden “fonksiyonlar”ı seçin. Bu bölümde yer alan “fonksiyon makinesi” uygulamasını başlatın.

Girdi olarak rastgele sayılar atayın ya da isterseniz kendiniz girdi değerleri verin.
“Başlat” düğmesine tıklayarak uygulamayı başlatın.
Her bir girdi değeri için çıktının kaç olacağını yazın.
Cevaplarınızı kontrol edin.
Ekranın sol tarafında tanım kümesinde yer alan girdi değerlerinin değer kümesinde yer alan çıktı değerleri ile eşleşmeleyi kontrol edin.
Devam düğmesine basarak ilerleyin ve uygulamayı tamamlayın.
Yeni bir fonksiyon ile uygulamaya devam etmek isterseniz ekranın fonksiyon makinesinin alt orta bölümünde yer alan “yeni uygulama” düğmesine basın.

(Aşağıdaki resme tıklayarak linke ulaşabilirsiniz).

Örnek:

A = {1, 3, 5, t, u} ve B = {4, 10, 12, 20, 4p, 4t, 4u} kumeleriicinf : A → B fonksiyonu A kümesindeki her elemanı, bu elemanların 4 katı olan ve B kumesinde yer alan elemanlarla ilişkilendirsin. Bu durumu temsilen aşağıdaki makine modellemesini kullanabiliriz.

A kümesinden alınan girdi değerlerine karşılık gelen çıktı değerleri hem yaptığımız makine modellemesinde hem de oluşturduğumuz tabloda gösterilmiştir. Bu fonksiyon için tanım kümesi A, değer kümesi B ve görüntü kümesi f(A) = {4, 12, 20, 4t, 4u} dur. Görüntü kümesinin değer kümesinin bir alt kümesi olduğunu, yani f(A) ⊂ B olduğunu biliyorduk. Bu örnekte f(A) ≠ B olabileceğini, yani görüntü ve değer kümelerinin farklı kümeler olabileceğini gözlemliyoruz.

Şoyle ki;

Fonksiyonun ilişkilendirme kuralını kullanırsak, cıktıyı 4x ile gosterebiliriz.
x e karşılık gelen cıktının, x in f altındaki görüntüsü olduğunu kullanırsak, çıktıyıf(x) ile gösterebiliriz.
Bağımsız değişken olan x girdisine karşılık, çıktının bağımlı bir değişken belirteceğinden, çıktıyı y değişkeni ile gösterebiliriz.

Dolayısıyla, f(x) = 4x, y = f(x) veya y = 4x ifadeleri aynı ilişkiyi belirtmektedir.

Makine benzetmesine tekrar geri donecek olursak, f fonksiyonu x girdisini alıp f(x) çıktısına götüren bir makine şeklinde düşünülebilir.

Uygulama1.1.

http://f.eba.gov.tr/MatematikAraclariUygulamasi/ web sayfasında sol tarafta yer alan matematik araçları menüsünden “fonksiyonlar”ı seçin. Bu bölümde yer alan “fonksiyon makinesi” uygulamasını başlatın. Fonksiyon makinesinde beliren fonksiyon için girdi değerlerine karşılık çıktı değerlerini üretin. Süreç sonunda girdi değerlerine karşılık gelen çıktı değerlerini gösteren bir tablo yapın. Bu tabloda x girdi değerlerinin eşleştiği f(x) çıktı değerlerini açıkça gösterin. Girdi değerlerine ait olan satır ya da sütunu x olarak; çıktı değerlerini ise f(x) olarak adlandırın.

Örnek:

f : R → R fonksiyonu "verilen bir gercek sayıyı 2 katının 3 fazlasıyla eşleştiriyor" şeklinde tanımlansın. Bu fonksiyonun makine modellemesini şekildekigibi yapabiliriz.