2. Fonksiyonların Grafikleri
Bir fonksiyonun grafiksel gösterimi, fonksiyon hakkındaki birçok bilgiyi görsel ve anlaşılması kolay bir şekilde sunduğu gibi, cebir ile geometriyi bir arada kullanmamıza imkan verir. Diğer taraftan, günlük hayatımızdaki bazı verilerin kolay anlaşılmasını sağlamak ve akılda kalıcılığını arttırmak için bu verilerin sunumunu sayısal ve sözel ifade etme, şekillere dökme gibi yöntemler yardımıyla yaparız.
Etkinlik 2.1.
f : R→ R ve f(x) = x + 1 ile verilen bir doğrusal fonksiyon olsun.
A = {–3, –2, 1, 2, 4} ve B = {–1, 0, 1, 5} kümeleri veriliyor. Buna göre;
a) Tanım kümesinin bir alt kümesi olan A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerini bulalım.
b) Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan B kümesindeki elemanların, tanım kümesindeki hangi elemanların f altındaki görüntüleri olduğunu bulalım.
c) Bu doğrusal fonksiyonun grafiğini, grafiğin x ve y eksenlerini kestiği iki noktayı kullanarak çizelim.
d) Çizdiğiniz grafik üzerinde koordinatları, A kümesindeki elemanlar ve bu elemanların f altındaki görüntüleri olan noktaları gösterelim.
Tabletlerinizden autograph programını açın ve koordinat düzlemindesoruda verilen doğrusal fonksiyonungrafiğini çizdirin. Yukarıda verilen sorularıbu grafik üzerinden yanıtlayın.
a tanım kümesinden bir eleman ve b = f(a) ise b görüntü kümesine ait bir eleman olmalıdır.
Bu durumda b, a’nın f altındaki görüntüsüdür veya f’nin a’daki değeri b’dir deriz. b
görüntü kümesinden bir eleman ise b = f(a) eşitliğini sağlayan ve tanım kümesinin elemanı
olan bir a vardır. Ancak, b = f(a) eşitliğini sağlayan a değerleri birden fazla olabilir ve hepsinin
tanım kümesinde bir eleman olma zorunluluğu yoktur. b değer kümesinden bir eleman,b = f(a)
ve a tanım kümesinin bir elemanı ise b’nin f altındaki bir ters görüntüsü a’dır.
Etkinlik 2.2.
http://www.vitaminegitim.com/proxy/HSStudentPlayer_v0.0.228/index.html#lessonplayer
inkinden etkinliği açarak başlatın. Etkinliğin yönerge bölümünü dikkatle inceledikten sonra soruları yanıtlayın. Bu etkinlikte fonksiyon grafikleri kullanılarak fonksiyonların tanım kümesinde yer alan bazı elemanların görüntüleri ile görüntü kümesinde yer alan bazı elemanların ters görüntülerinin bulunması beklenmektedir.
Uygulama 2.1
http://www.vitaminegitim.com/proxy/HSStudentPlayer_v0.0.228/index.html#lessonplayer
linkinden etkinliği açın ve başlatın. Yönerge bölümünü dikkatle inceledikten sonra uygulamaya geçin. Bu etkinlikte grafiği verilen fonksiyona ait tanım ve görüntü kümelerinin koordinat düzleminden bulunması hedeflenmektedir.
2.1. Dikey (Düşey) Doğru Testi
f fonksiyonu A C R kumesinden B C R kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun. Fonksiyonların grafiksel gösterimleriyle ilgili açıklamalarımızdan anlaşılacağı üzere, koordinatları f’nin yaptığı ilişkilendirmelerle belirlenen ikililer olan noktaların kartezyen düzlemde gösterilmesi f’nin grafiğini vermektedir. Bu nedenle, daha önce de belirttiğimiz gibi f in grafiği R x R’nin bir alt kümesi olmaktadır. Şimdi bunun tersinin doğru olup olmadığını düşünelim:
R x R’nin herhangi bir alt kümesi, bir fonksiyonun grafiği şeklinde düşünülebilir mi?
Bir fonksiyon grafiğinin üzerindeki noktalardan x eksenine dik doğrular (dikey doğrular) çizildiğinde bu doğruların x–eksenini kestiği noktaların x bileşenleri tanım kümesinin elemanlarıdır. Diğer taraftan, x ekseni üzerinde olup tanım kümesinde yer alan bir elemana karşılık gelen bir noktadan gecen ve x eksenine dik olan bir doğru çizdiğimizde, bu doğru fonksiyonun grafiğini mutlaka bir noktada kesmeli ve birden fazla noktada da kesmemelidir.
x eksenini x = a noktasında kesen dikey doğru,verilen grafiği kesmiyorsa bu grafik tanım kümesinde a’yı eleman olarak bulunduran bir fonksiyona aitolamaz. Çünkü a değerine karşılık değer kümesinde a ile eşlenen bir eleman olmayacaktır; bu da fonksiyonolma kuralına aykırıdır.
x eksenini x = a noktasında kesen dikey doğrugrafiği bir noktada kesiyor olsun. Bu durumda tanımkümesindeki a değeri, değer kümesinden birelemanla eşlenmiştir. Eğer x ekseni üzerinde belirlediğimiz bir tanım kümesine karşılık gelennoktalardan çizilen tüm dikey doğrular grafiği yalnızbir noktada kesiyorsa tanım kümesindeki her bireleman değer kümesinden yalnız bir elemanlaeşlenmiş demektir. Öyleyse bu durumda, grafik belirlediğimiz tanım kümesine sahip bir fonksiyonun grafiğidir.
x eksenini x = a noktasında kesen doğru grafiğibirden fazla noktada kesiyorsa, bu grafik tanımkümesinde a’yı eleman olarak bulunduran birfonksiyona ait olamaz. Çünkü, a elemanı değerkümesinden birden fazla elemanla eşlenmiştir, buda fonksiyon olma kuralına aykırıdır. Bu durumdagrafik herhangi bir fonksiyon grafiği olamaz.
Etkinlik 2.3.
Tabletlerinizde autograph programını açarak koordinat düzlemi üzerinde sırasıyla f: R → R
2 2
olmak üzere f(x)=x , f(x)= x , f(x)= 4-x fonksiyonlarının grafiklerini çizdirin ve bu
grafiklerin fonksiyon grafiği belirtip belirtmediğini saptayın.
İpucu:Söz konusu grafiğin x ekseninde tanımlı olduğu noktalardan geçen dikey doğrular çizin. Çizdiğiniz dikey doğrular ile söz konusu grafiğin kesişim noktalarını belirleyin. Kesişim noktalarının x ve y koordinatlarının açıkça yazın. Söz konusu eşleşmeleri dikkatlice inceleyin.Eşleşmelerin fonksiyon olmanın gerektirdiği özel şartları sağlayıp sağlamadığını düşünün.
Bir grafiğe dikey doğrular çizerek bir grafiğin fonksiyongrafiği olup olmadığını anlama
yöntemine dikey doğru testi denir.Dikey eksen değer kümesi,yatay eksen tanım kümesi
olmak üzere grafiği kesecekşekilde çizilen dikey doğrular grafiği her zaman birer noktada
kesiyorsa grafik fonksiyon grafiğidir. Ancak grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik
fonksiyon grafiği değildir.
Uygulama 2.2.
Tabletlerinizden autograph programını açarak koordinat düzlemi üzerinde sırasıyla
2 2
f: R → R olmak üzere f(x)= 4-x , f(x)=2x-3, f(x)= -x + 3
fonksiyonlarının grafiklerini çizdirin ve bu grafiklerin fonksiyon grafiği belirtip belirtmediğini saptayın.
