3. Fonksiyon Türleri
3.1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü diğer elemanlarıngörüntülerinden farklı ise o fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
Bir f: A → B fonksiyonu verildiğinde, herhangi a ∈ A ve b ∈A için a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) şartı sağlanıyorsa f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Bu tanımı şu şekilde deifade edebiliriz:
Herhangi a ∈ A ve b ∈ A için f(a) = f(b) ⇒ a = b şartı sağlanıyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.Bir f fonksiyonunun bire bir olma durumu “f fonksiyonu 1-1’dir” şeklinde ifade edilebilir.
Örnek:
f: R → R, f(x) = |x + 1| fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyelim.
a, b ∈ R olmak üzere f(a) = f(b) olsun. f(x) = |x + 1| olduğundan f(a) = |a + 1| ve f(b) = |b + 1|’dir.
Dolayısıyla,f(a) = f(b)⇒ |a + 1| = |b + 1|’dir. Buradan;
a + 1 = b + 1 veya a + 1 = –(b + 1) ⇒ a = b veya a + 1 = –b – 1 ⇒ a = b – 2 elde edilir. Bu nedenle, f fonksiyonu bire bir değildir.
Etkinlik 3.1.
Tabletlerinizden................................................................. linkinden bağlanarak autograph programını açın ve koordinat düzleminde f: R →R, f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini çizdirin. Grafiği kullanarak fonksiyonun bire bir olup olmadığını belirleyin.
a) f: R → R, f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini kullanarak f altında görüntüleri aynı olan gerçel sayılar olup olmadığını belirleyin.
Örneğin, f altında görüntüsü 3 olan kaç tane x değeri vardır? Bu soruya grafiği kullanarak nasıl cevap bulabiliriz?
Bu soruya cevap bulmak içinautograph’te aynı koordinat düzleminde
y=3 yatay doğru grafiği çizdirilir.
Bu doğru ile y=2x doğrusunun kesişim noktası bulunur.
Bunu yapmak için her iki doğru da birlikte seçilir ve doğrulardan biri üzerinde sağ tıklanır.
Açılan ekrandan “f(x)=g(x) çöz” seçilir.
Böylece her iki doğrunun kesişim noktası ya da noktaları renkli olarak koordinat düzlemi üzerinde işaretlenir.
Elde edilen kesişim noktasının ya da noktalarının koordinatlarını açıkça görmek için nokta seçilir; üst menüde yer alan “metin kutusu”na tıklanır.
Açılan pencerede “tamam” butonuna basıldığında noktaların koordinatları açıkça görülür.
Koordinatlar göz önüne alınarak f fonksiyonunun grafiği üzerinde y değeri 3 olan kaç x değeri olduğunu belirlenir.
b) Aynı koordinat düzleminde y= -1 yatay doğrusunun grafikiğini de çizdirin. f altında görüntüsü -1 olan kaç tane x değeri olduğunu belirleyin.
c) Benzer şekilde f fonksiyonunun grafiği üzerinde y değeri 2 olan kaç x değeri olduğunu belirleyin.
d) Aynı adımları farklı yatay doğrular çizdirerek tekrarlayın. Buradan f fonksiyonun birebir olma durumu ile ilgili nasıl bir sonuca varılabilir?
Bir fonksiyonun grafiği uzerinde, x-eksenine paralel cizilen her doğru grafiği
en fazla bir noktada kesiyorsa grafik 1-1 fonksiyon grafiğidir. Bu grafiği birden
fazla noktada kesen en az bir yatay doğru varsa bu fonksiyon 1-1 değildir. Bu
yönteme yatay doğru testi adı verilir.
Uygulama 3.1.
a) Tabletinizde autograph programını açarak koordinat düzleminde
2
f: R → R, f(x)= x fonksiyonunun grafiğini çizdirin ve grafiği kullanarak fonksiyonun 1 – 1 olup olmadığını inceleyin.
3 3 2
b) Aynı etkinliği, f(x) =x , f(x)= x ve f(x)= x - x -4x + 4 fonksiyonları için de yapın.
