3. Fonksiyon Türleri

 

3.2. Örten Fonksiyon

 

Eğer bir fonksiyonun değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir eleman ile eşleşmiş ise bu fonksiyon örten fonksiyondur. Bir başka ifadeyle, bir fonksiyonun görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşitse fonksiyon örtendir. Şimdi bu tanımları cebirsel olarak ifade edelim:

f: A → B fonksiyonu için f(A) = B ise f örtendir.

 

Bu tanımı aşağıdaki gibi belirtmek yaygın ve kullanışlıdır:

f: A → B fonksiyonu verilsin. Her b ∈ B için b = f(a) olacak şekilde en az bir a ∈ A varsa f örten bir fonksiyondur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bir fonksiyonun bire bir olma durumunu incelemek için kullandığımız yatay doğrutestini fonksiyonun örten olma durumunu incelemek için de kullanabiliriz. Şöyleki, değer kümesinin elemanlarından çizilen her yatay doğru fonksiyonun grafiğinien az bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon örten fonksiyondur.

 

Etkinlik 3.2.

 

                      2

a) f: R → R, x   fonksiyonunun örten olup olmadığını grafik yöntemiyle belirleyin. Fonksiyonun grafiğini autograph

 

kullanarak çizdirin. Fonksiyonun grafiğini kullanarak örten olup olmadığının nasıl belirleneceğini düşünün.

 

b) Birebir fonksiyon etkinliğinde yapılan yatay doğru testini fonksiyonların örten olup olmadığını belirlemek için de kullanabilir miyiz? Nasıl yapılacağını belirleyin.

 

Grafik incelendiğinde değerkümesindeki negatif değerlerle eşlenen x değerlerininolmadığı görülmektedir.Bu durumda f fonksiyonu örten değildir.

 

c) Bu fonksiyonun örten olması için nasıl tanımlanması gerektiğini düşünün. Önerinizi gerekçelendirin.

 

Etkinlik 3.3.

 

a) Autograph progamını açarak koordinat düzlemindegerçelsayılarda tanımlı y=f(x)=4x-1

fonksiyonunun grafiğini çizdirin. x-eksenine paralel doğrular çizdirerek yatay doğru testini uygulayın ve fonksiyonun

 

• bire bir fonksiyon

• örten fonksiyon

 

olup olmadığını belirleyin.

 

b) Gerçel sayılarda tanımlı

 

• y = h(x) = –3x + 2,

 

• y = g(x) = 6x,

 

                       2

• y = t(x) = x  - 5,

 

                         3

• y = F(x) = x    ,

 

 

 

fonksiyonlarının grafiklerini de çizdirerek her bir fonksiyonun

 

• bire bir fonksiyon

• örten fonksiyon

 

olup olmadığını belirleyin.

 

c) Hem 1-1, hem de örten olan fonksiyonların grafiklerinin ortak özelliklerini açıklayın.

 

f: A → B, y = f(x) fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir.

 

Uygulama 3.2.

 

Tabletlerinizden autograph etkinliğini açın ve koordinat düzleminde, 

                                                                   3      

f: R → R, f(x) = 2x + 1 ve f: R → R, f(x)= x   fonksiyonlarının grafiklerini çizdirin. Fonksiyonların 1-1 ve örten olup

 

 

olmadığını grafiklerini kullanarak belirleyin.

 

 

 

Etkinlik 3..

 

Fonksiyon türleri ile ilgili olarak günlük hayattan pek çok örnek durum bulmak mümkündür. Bununla ilgili olarak hazırlanmış etkinliğin üzerine tıklayın ve yönergeyi okuyarak kendinizi test edin.