2. Fonksiyonların Grafikleri

 

2.4. Parçalı Tanımlı Fonksiyonlar ve Grafikleri

 

Havanın tamamen güneşli, parçalı bulutluveya devamlı yağmurlu olduğu günler olabileceğigibi bir gün içinde sırasıyla dört mevsimide yaşayabiliriz.Bu durum fonksiyonlar için de geçerlidir.Tanım kümesinin belli bir bolumu için verilen ilişkilendirme kuralı, tanım kümesinin diğer kısımları için geçerli olmayabilir. Yanibir fonksiyonun yaptığı ilişkilendirmeyi tarifetmek için birden fazla cebirsel kurala ihtiyaç duyulabilir.

Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyonlar veya kısaca parçalı fonksiyonlar denir.

 

 

Etkinlik 2.8.

 

g: (–∞, –1) → R, g(x) = x + 2,

 

h: [–1, 1) → R, h(x) = 1,

 

                                       2

k: (1, ∞) → R, k(x) = x

 

fonksiyonları verilsin. Buna göre,

 

a) g, h ve k’nın her birinin grafiklerini autograph programının  koordinat düzleminde çizdirin.

b) g, h ve k fonksiyonlarının grafiklerinin birleşiminden oluşan grafiği, fonksiyonların tanım aralıklarını dikkate alarak tek bir fonksiyonungrafiği şeklinde nasıl ifade edebileceğimizi düşünün.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dikkat edecek olursak verilen 3 fonksiyonun grafiklerinin birleşimi olan grafiği,tüm gerçelsayılarda tanımlı tek bir fonksiyonun grafiği olarak düşünülebilir. Şekildekibütünleştirilmiş grafik üzerinde dikey doğru testi uygulandığında bununbir fonksiyon grafiği olduğu anlaşılacaktır.

 

f: R → R fonksiyonunun kuralını parçalı olarak şu şekilde tanımlayalım:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bu durumda, f fonksiyonu aradığımız fonksiyondur. Parçalı tanımlı verilen f fonksiyonununkuralını aşağıdaki gibi bir gösterimle ifade edebiliriz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bu gösterimde, g, h ve k fonksiyonları için verilen cebirsel kuralları kullanırsak;

 

 

 

 

 

 

 

elde edilir.

 

 

Etkinlik 2.9.

 

a) Tabletlerinizden  http://f.eba.gov.tr/MatematikAraclariUygulamasi/ web sayfasına girerek açın. Sol üstte yer alan menüden “fonksiyonlarla işlemler ve uygulamalar” bölümüne oradan da “parçalı fonksiyon” bölümüne girin. Yönerge kısmını inceleyin. Açılan uygulamayı başlatın. Uygulamada düğmelere basarak x ve sayı değerlerini arttırıp azaltın ve parçalı tanımlı fonksiyonlar oluşturun.

 

Elde ettiğiniz grafiklerin tanımlı oldukları aralıkları göz önüne alarak değişimlerini yorumlayın.

 

Bu etkinlikte parçalı tanımlı fonksiyonu x için x; x için –x olarak tanımladığınız durumda oluşan fonksiyona mutlak değer fonksiyonu denir. Pozitif x değerleri için |x| = x, negatif x değerleri için |x| = –x ve de |0| = 0 olduğundan y = |x| mutlak değer fonksiyonunu parçalı tanımlı fonksiyonlar için kullandığımız gösterim yoluyla ifade edebiliriz:

 

 

 

 

 

 

 

b) y = f(x) = |x| in grafiği x < 0 için y = –x ve x ≥ 0 iken y = x doğrularının grafiklerinin ilgili kısımlarıdır. Bunu autograph programında koordinat düzlemi üzerinde y=|x| fonksiyonunun grafiğini çizdirerek görelim. Tabletlerinizden autograph programını açın ve koordinat düzleminde y=|x| fonksiyonunun grafiğini çizdirin.

 

c) y=|x| fonksiyonunun tanım ve değer kümesini belirleyin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafikten de görüldüğü gibi f(x) = |x| fonksiyonunun tanım kümesinin dikey doğru testinden R, görüntü kümesinin ise grafikten [0, ∞) olduğu görülmektedir.

 

Mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki ifadeyi kural olarak alan fonksiyonun grafiği çizilir. Daha sonra grafiğin x-ekseninin üstünde olan kısımlar alınır. x-ekseninin altında kalan kısımlar varsa bu kısımların da x-eksenine göre simetriği alınır. Böylece istenilen mutlak değerli ifade içeren grafik çizilmiş olur.

 

d) Aynı koordinat düzleminde y=|x+2| ve y=|x-3| fonksiyonlarının grafiklerini çizin. Bu grafikleri y=|x| fonksiyonunun grafiği ile karşılaştırarak grafiklerin hareketini yorumlayın. 

 

Uygulama 2.6.

 

a) Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)= x - 2 ve f(x) =  |x-2|  fonksiyonlarının grafiklerini autograph programında aynı koordinat düzleminde çizdirin.

 

        i. f(x) ve g(x) fonksiyonları arasında nasıl bir ilişki vardır?

        ii. f(x) fonksiyonunun grafiğini kullanarak g(x) fonksiyonunun grafiğini elde etmek mümkün müdür?

 

b) Aynı adımları

 

                       2                                                     2

        i. g(x)=x  - 1 ve g(x)= I x  -1 I

 

                        3                                                                  3

        ii. h(x)=x  - x - 2 ve h(x)=  | x  - x - 2 l

 

 

fonksiyon çiftleri için de yapın. Her seferinde elde ettiğiniz sonuçları yorumlayın.

 

c) Buradan parçalı tanımlı fonksiyonların mutlak değer içinde olan ve olmayan hallerinin grafiklerinin çizimi konusunda nasıl bir sonuca ulaşabilirsiniz?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        Mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki ifadeyi

                                    kural olarak alan fonksiyonun grafiği çizilir. Daha sonra grafiğin x-ekseninin üstünde

                                    olan kısımlar alınır. x-ekseninin altında kalan kısımlar varsa bu kısımların da

                                    x-eksenine göre simetriği alınır. Böylece istenilen mutlak değerli ifade içeren grafik

                                    çizilmiş olur.